{ "cells": [ { "cell_type": "markdown", "id": "divine-robert", "metadata": { "toc": true }, "source": [ "

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\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "sixth-combat", "metadata": {}, "source": [ "# Bivariate Datenanalyse\n", "In den bisherigen Betrachtungen haben wir die verschiedenen Variablen jeweils isoliert betrachtet. Häufig interessieren aber gerade die Zusammenhänge zwischen zwei oder mehr Variablen. Im Folgenden konzentrieren wir uns auf bivariate Zusammenhangsmaße, also statistische Kennzahlen, die jeweils zwei Merkmalsausprägungen im Zusammenhang betrachten. Dabei betrachten wir zunächst wieder die Häufigkeitsverteilungen von kategorialen Variablen. Anschließend wenden wir uns verschiedenen statistischen Zusammenhangsmaßen oder auch Assoziationsmaßen zu.\n", "\n", "## Kontingenztabellen\n", "So wie wir Häufigkeitstabellen für einzelne Variablen erstellt haben, lassen sich diese auch für die Kombination von Merkmalsausprägungen zweier (oder mehr) Merkmale erstellen. Dabei werden für alle Merkmalskombinationen die jeweiligen gemeinsamen Auftretenshäufigkeiten ausgezählt. Die resultierenden tabellarischen Darstellungen werden als Kontingenz- oder Kreuztabellen bezeichnet. In R können wir dafür die bereits bekannte Funktion `table()` verwenden, der dann beide Variablen übergeben werden. Im folgenden Beispiel werden in den Zeilen die Merkmalsausprägungen der Variablen *Bildungsabschluss* und in den Spalten der Variablen *Geschlecht* abgetragen." ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "id": "expected-christianity", "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "#Beispieldaten einlesen\n", "sample_data <- readRDS(\"data/sample_data_final.RDS\")\n", "str(sample_data)" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "id": "taken-phoenix", "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "#Erstellen einer Kontingenztabelle mit den absoluten Häufigkeiten der Ausprägungskombinationen\n", "table(sample_data$Bildungsabschluss, sample_data$Geschlecht)" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "id": "native-arrest", "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "#Erstellen einer Kontingenztabelle mit den relativen Häufigkeitsverteilung (Darstellung in % durch Multiplikation mit 100)\n", "#Über den Parameter margin kann angegeben werden, ob die relativen Häufigkeiten auf die Zeilen (=1) oder die Spalten (=2)\n", "#bezogen berechnet werden sollen. Wird keine Angabe gemacht, so werden die relativen Häufigkeiten auf die gesamte Fallzahl bezogen.\n", "round(prop.table(table(sample_data$Bildungsabschluss, sample_data$Geschlecht), margin=2) * 100, 1)" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "isolated-clone", "metadata": {}, "source": [ "In unserer Stichprobe ist eine ungefähren Gleichverteilung der Bildungsabschlüsse zwischen den männlichen und weiblichen Probanden zu beobachten. Eine größere Abweichung ist bei den Teilnehmern zu verzeichnen, die divers angegeben haben. Die Fallzahl ist hier allerdings so gering, dass die Zahlen wenig aussagekräftig sind. " ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "square-firewall", "metadata": {}, "source": [ "Da bei alleiniger Betrachtung der relativen Häufigkeiten die Fallzahlen nicht ersichtlich sind, können sich Zahlen und Interpretationen schnell verselbständigen, wenn nicht die benötigte Sorgfalt an den Tag gelegt wird. Sie sollten daher immer die Randsummen mit angeben, auf die sich die relativen Häufigkeitsangaben beziehen. In R erreichen Sie dies mit der Funktion `addmargins()` oder wenn nur die Randsummen zurückgegeben werden sollen `margin.table()`. Da wir die Randsummen der absoluten Häufigkeiten unten an die Übersicht der relativen Häufigkeiten anfügen wollen, wenden wir die Funktion `margin.table()` auf die Tabelle mit den absoluten Häufigkeitsverteilungen an." ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "id": "cheap-authority", "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "#Der Übersichtlichkeit halber gehen wir hier in zwei Schritten vor:\n", "#1. Erzeugen der Kontingenztabelle mit der relativen Häufigkeitsverteilung \n", "kontingenztabelle_rel <- round(prop.table(table(sample_data$Bildungsabschluss, sample_data$Geschlecht), margin=2),2)\n", "\n", "#2. Zeile mit den Randsummen der absoluten Häufigkeiten für die Geschlechter als letzte Zeile anfügen.\n", "rbind(kontingenztabelle_rel, n = margin.table(table(sample_data$Bildungsabschluss, sample_data$Geschlecht), 2))" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "sealed-investing", "metadata": {}, "source": [ "Etwas einfacher lässt sich dies noch mit `CrossTable()` aus der Bibliothek `gmodels` realisieren. Darüber hinaus können hier sowohl zeilen- als auch spaltenbezogene Randsummen gleichzeitig ausgegeben werden. Da diese Bibliothek nicht zum Installationsumfang von `r-base` und `r-essentials` gehört, müssen wir diese nachinstallieren. Weitere Informationen zur Installation finden Sie noch einmal am Ende dieses Jupyter Notebooks, falls die Installation aus dem Jupyter Notebook heraus nicht funktioniert." ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "id": "green-hebrew", "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "install.packages(\"gmodels\") #Bei wiederholter Ausführung auskommentieren, eine erneute Installation ist nicht notwendig\n", "library(\"gmodels\")\n", "CrossTable(sample_data$Bildungsabschluss, sample_data$Geschlecht, #auch mehr als drei Variablen können hier angegeben werden\n", " prop.t = FALSE, #Relative Häufigkeiten in Bezug zur Gesamtzahl der Fälle ausschließen\n", " prop.chisq = FALSE, #Chi-Quadrat Anteil der Zellen unterdrücken. Dies behandeln wir später noch.\n", " )" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "approximate-vampire", "metadata": {}, "source": [ "Für die graphische Darstellung von bivariaten Häufigkeitsverteilungen kategorialer Daten können wie bei univariaten Daten Balkendiagramme herangezogen werden. Die Darstellung kann dabei in gestapelter oder gruppierter Form erfolgen. Eine Variable wird dabei auf der x-Achse abgebildet, während auf der y-Achse die Häufigkeiten dargestellt werden. Die zweite Variable wird durch farbliche Abstufungen oder auch Muster dargestellt. Wie immer gilt: Wählen Sie die Darstellungsform, die leichter für den Betrachter erfassbar ist. Auch eine Mosaik-Darstellung kann in diesem Zusammenhang aufschlussreich sein. Bei dieser Diagrammform werden die Flächen mit einer Größe proportional zur Häufigkeit zweidimensional dargestellt (s.u.). " ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "id": "developmental-folder", "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "#Größe der Abbildung festlegen\n", "library(repr)\n", "options(repr.plot.width=7, repr.plot.height=5.5)\n", "\n", "#Gestapeltes Balkendiagramm (die starke Ähnlichkeit zwischen den Häufigkeitsverteilungen der Geschlechter männlich\n", "#und weiblich lässt sich in der gestapelten Variante besser erkennen)\n", "barplot(prop.table(table(sample_data$Bildungsabschluss, sample_data$Geschlecht), margin=2), \n", " legend = TRUE,#Mit legend = TRUE können Sie eine Legende aktivieren\n", " args.legend = list(x = \"topright\", #Weitere Modifikation der Legende: Position (oben rechts)\n", " inset=c(-0.35, 0))) #Verschieben (hier nach rechts) \n", "\n", "#Gruppiertes Balkendiagramm (Die große Anzahl verschiedener Balken fordert den Betrachter stark. )\n", "barplot(prop.table(table(sample_data$Bildungsabschluss, sample_data$Geschlecht), margin=2), beside=T) \n", "\n", "#Mosaik-Diagramm (Die bereits bekannte Funktion plot erzeugt diese automatisch bei Übergabe einer Kontingenztabelle)\n", "plot(table(sample_data$Geschlecht, sample_data$Bildungsabschluss))" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "wanted-straight", "metadata": {}, "source": [ "Auch mit `ggplot2` lassen sich gestapelte und gruppierte Balkendiagramme erzeugen. Da die Standardfarben nicht sehr ansprechend sind, verwenden wir hier eine Brewer-Farbpalette. Diese Farbpaletten gibt es für verschiedene Zwecke und Anforderungen an Datenvisualisierungen. Eine schöne Auswahlhilfe finden Sie auf folgender [Webseite](https://colorbrewer2.org/#type=sequential&scheme=BuGn&n=3)." ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "id": "offensive-resource", "metadata": { "scrolled": true }, "outputs": [], "source": [ "options(repr.plot.width=8, repr.plot.height=4)\n", "#Bibliotheken laden\n", "library(ggplot2)\n", "\n", "#gestapelt\n", "#Mit fill=Bildungsabschluss wird festgelegt, dass der Bildungsabschluss in Farbabstufungen dargestellt werden soll.\n", "ggplot(sample_data, aes(x=Geschlecht, fill=Bildungsabschluss)) + #Basisdiagramm mit Daten\n", " geom_bar() + #Darstellung als Balkendiagramm\n", " xlab(\"Höchster Bildungsabschluss\") + ylab(\"absolute Häufigkeiten\")+ #Achsenbeschriftungen ergänzen\n", " scale_fill_brewer() #Abgestimmte Farbpaletter aus \n", "\n", "#gruppiert\n", "ggplot(sample_data, aes(x=Geschlecht, fill=Bildungsabschluss)) + #Basisdiagramm mit Daten \n", " geom_bar(position=\"dodge\") + #Darstellung als Balkendiagramm\n", " xlab(\"Höchster Bildungsabschluss\") + ylab(\"absolute Häufigkeiten\") +#Achsenbeschriftungen ergänzen\n", " scale_fill_brewer()\n", "\n", "#facettiert\n", "#Dies ermöglicht die Darstellung von mehr als zwei Variablen im Zusammenhang\n", "ggplot(sample_data, aes(x=Geschlecht, fill=Wohnort)) + #Basisdiagramm mit Daten \n", " geom_bar(position=\"stack\") + #Darstellung als Balkendiagramm\n", " xlab(\"Höchster Bildungsabschluss\") + ylab(\"absolute Häufigkeiten\") +#Achsenbeschriftungen ergänzen\n", " scale_fill_brewer() +\n", " facet_wrap(~Bildungsabschluss) #Variable, für deren Ausprägungen Facetten (=einzelne Diagramme) gebildet werden sollen\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "superb-samba", "metadata": {}, "source": [ "## Assoziationsmaße\n", "Assoziations- oder Zusammenhangsmaße sind statistische Kennzahlen, die Aussagen über den Zusammenhang von Variablen ermöglichen. Häufig wird auch von statistischer Abhängigkeit gesprochen, ohne dass Abhängigkeit wie im allgemeinen Sprachgebrauch mit Kausalität verknüpft ist. Mit den im Folgenden besprochenen statistischen Kennzahlen können im Gegenteil keine Aussagen zu einer möglichen Kausalität getroffen werden, sondern lediglich gemeinsame Veränderungen festgestellt werden. Kausalität kann nur mit Mitteln der Logik oder im Rahmen von kontrollierten Experimenten untersucht werden, bei denen gezielt Einflussvariablen verändert und der resultierende Effekt beobachtet werden kann.\n", "\n", "### Kovarianz\n", "\n", "Wir beginnen bei unseren Betrachtungen mit der Kovarianz, die als Basis für später behandelte Korrelationsmaße dient. Die Kovarianz setzt intervallskalierte Daten für beide Variablen voraus und betrachtet den wechselseitigen *linearen* Zusammenhang zweier Messwertreihen. Ein Beispiel sehen Sie in nachfolgender Abbildung (links). Die für ein Untersuchungsobjekt beobachteten Merkmalsausprägungen beider Variablen sind jeweils in dem Streudiagramm gemeinsam als Punkte abgetragen. Durch die Punkte ließe sich nun eine Gerade legen. 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Meist werden Sie eher Bilder finden, wie Sie auf der rechten Seite zu sehen sind. Die Punkte bewegen sich in einem linearen Korridor. Für normalverteilte Daten bilden Sie eine Ellipse. Die Gerade kann dennoch ein sinnvolles Modell für diese Daten darstellen, ist aber natürlich mit Fehlern behaftet. Den Gedanken werden wir zu einem späteren Zeitpunkt noch einmal aufgreifen.\n", "\n", "Ob ein Zusammenhang zwischen zwei Variablen besteht und wie stark dieser gegebenenfalls ist, lässt sich nur in der gemeinsamen Betrachtung aller Wertepaare in der Stichprobe beurteilen. Die Kovarianz setzt hier an der Streuung der beobachteten Wertepaare an, genauer an der gemeinsamen Varianz. Die Varianz kennen Sie bereits aus der univariaten Datenanalyse. Sie betrachtet die mittlere quadrierte Abweichung vom arithmetischen Mittel. \n", "\n", "Nehmen wir an, wir haben für die Mitarbeiter in unserem Minimalbeispiel auch Informationen über die Schuhgröße und wir sind an dem Zusammenhang zwischen dem Einkommen und der Schuhgröße interessiert. Dies mag im ersten Moment etwas merkwürdig anmuten, dient aber im weiteren Verlauf der Verdeutlichung, dass ein beobachteter Zusammenhang nicht kausal sein muss.\n", "\n", "Die Wertepaare tragen wir nun als Punkte in ein Streudiagramm ein. Für die Berechnung der Varianz benötigen wir darüber hinaus noch den arithmetischen Mittelwert, daher tragen wir den Punkt aus den jeweiligen Mittelwerten ebenfalls in das Diagramm ein." ] }, { "attachments": { "Kovarianz-2.png": { "image/png": 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} }, "cell_type": "markdown", "id": "dental-blair", "metadata": {}, "source": [ "![Kovarianz-2.png](attachment:Kovarianz-2.png)" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "agricultural-progress", "metadata": {}, "source": [ "Haben wir bei der Varianz lediglich eine Achsendimension betrachtet, so werden bei der Kovarianz die Abweichungen beider Messwerte von ihrem jeweiligen arithmetischen Mittel gleichzeitig berücksichtigt. Dies ist in der obigen Abbildung in rot exemplarisch für einen Punkt veranschaulicht. \n", "\n", "Die Formeln für die Berechnung der Varianz und der Kovarianz muten daher folgerichtig sehr ähnlich an:\n", "\n", "Empirische Varianz ($s^2$):\n", "$$ s^2 = \\frac{1}{n-1} \\sum_{i=1}^{n} (x_i-\\bar{x})^2 = \\frac{(x_1 - \\bar{x})^2 + (x_2 - \\bar{x})^2 + ... + (x_n - \\bar{x})^2}{n-1}$$\n", "\n", "auch wie folgt schreibbar:\n", "$$ s^2 = \\frac{1}{n-1} \\sum_{i=1}^{n} (x_i-\\bar{x}) \\cdot (x_i-\\bar{x}) = \\frac{(x_1 - \\bar{x}) \\cdot (x_1 - \\bar{x}) + (x_2 - \\bar{x}) \\cdot (x_2 - \\bar{x})+ ... + (x_n - \\bar{x}) \\cdot (x_n - \\bar{x})}{n-1}$$\n", "\n", "Die Kovarianz ($s_{xy}$) wird nun wie folgt berechnet:\n", "$$ s_{xy} = \\frac{1}{n-1} \\sum_{i=1}^{n} (x_i-\\bar{x}) \\cdot (y_i-\\bar{y}) = \\frac{(x_1 - \\bar{x}) \\cdot (y_1 - \\bar{y}) + (x_2 - \\bar{x}) \\cdot (y_2 - \\bar{y})+ ... + (x_n - \\bar{x}) \\cdot (y_n - \\bar{y})}{n-1}$$\n", "\n", "Wie Sie sehen, werden statt der Quadrierung der einzelnen Differenzen für eine Variable bei der Kovarianz die Differenzen zu den Mittelwerten für beide Variablen multipliziert." ] }, { "attachments": { "image-3.png": { "image/png": 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Der arithmetische Mittelwert der Schuhgrößen liegt gerundet bei 39,29.\n", "\n", "![image-3.png](attachment:image-3.png)\n", "\n", "Die Interpretation des Ergebnisses fällt dabei nicht leicht, da wir uns -- wie zuvor bei der Varianz -- in einer anderen Einheitendimension bewegen als bei den einzelnen Messergebnissen (hier: 430 € * EU-Schuhgröße). Zusätzlich ist die Kovarianz stark von den verwendeten Einheiten abhängig. Dies können Sie in nachfolgenden Codezellen ausprobieren." ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "id": "latest-patio", "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "daten_minimalbeispiel <- data.frame(Gehalt = c(2856,2350,2236,2910,3108,3207,2100), \n", " Schuhgroesse = c(40,39,38,39,41,40,38))\n", "\n", "#Berechnen der Kovarianz (In den Zellen Gehalt*Gehalt bzw. Schuhgröße*Schuhgröße finden Sie die Varianz)\n", "#Mit dem Parameter 'use' lassen sich verschiedene Einstellungen zum Umgang mit fehlenden Werten einstellen (z.B. \"pairwise.complete.obs\"))\n", "cov(daten_minimalbeispiel)\n", "?cov" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "id": "champion-philip", "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "#Kovarianz für Gehalt in Cent (*100) und Schuhgröße\n", "cov(daten_minimalbeispiel$Gehalt*100, daten_minimalbeispiel$Schuhgroesse)" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "ultimate-reality", "metadata": {}, "source": [ "Mittels der Kovarianz lässt sich daher nur eine Aussage bezüglich der Richtung des Zusammenhangs oder ein nicht vorhandener Zusammenhang feststellen. In diesem Fall beträgt der Wert (fast) null. Grundsätzlich gilt dennoch, je größer der Betragswert der Kovarianz ist, desto stärker ist auch der Zusammenhang. Erfahrungs- oder Vergleichswerte lassen sich aufgrund der Abhängigkeit von den Maßeinheiten jedoch nicht bilden. Bei einer positiven Kovarianz verändern sich die Messwerte paarweise tendenziell in die gleiche Richtung. Der Effekt wird stärker, je größer der Zusammenhang ist. Bei einer negativen Kovarianz ist eine gegenläufige Veränderung der Werte zu beobachten. Dies ist in nachfolgender Abbildung exemplarisch dargestellt." ] }, { "attachments": { "correlation_r=-0.8..png": { "image/png": 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} }, "cell_type": "markdown", "id": "indoor-beast", "metadata": {}, "source": [ "### Produkt-Moment-Korrelation\n", "\n", "Ein Maß, welches das Problem der Abhängigkeit von den Maßeinheiten der Variablen löst, stellt die Produkt-Moment-Korrelation dar, auch bekannt unter Korrelationskoeffizient ($r$), Pearson-Korrelation oder vollständiger Bravais-Pearson-Korrelation nach den Entwicklern des Maßes. Der Korrelationskoeffizient standardisiert die Kovarianz durch das Produkt der Standardabweichungen und sorgt so dafür, dass ein einheitlicher Wertebereich $[-1,+1]$ unabhängig von jedweden Maßeinheiten vorliegt. Dem aufmerksamen Betrachter der folgenden Formel fällt vielleicht auf, dass der Term $\\frac{1}{n-1}$ nicht mehr auftaucht. Dieser kürzt sich weg.\n", "\n", "$$r =\\frac{s_{ xy }}{ s_x \\cdot s_y } = \\frac{ \\sum_{i=1}^{n} (x_i - \\bar{x})(y_i - \\bar{y} )}{ \\sqrt{\\sum_{i=1}^{n}(x_i - \\bar{x})^2 \\sum_{i=1}^{n} (y_i - \\bar{y})^2 } }$$\n", "\n", "Setzen wir nun die Werte aus unserem Beispiel ein, erhalten wir Folgendes:\n", "\n", "$$\n", "r = \\frac{ \n", " \\begin{array}\n", " (2856-2681) \\cdot (40-39,29)\\\\\n", " + (2350-2681) \\cdot (39-39,29)\\\\\n", " + (2236-2681) \\cdot (38-39,29)\\\\\n", " + (2910-2681) \\cdot (39-39,29)\\\\\n", " + (3108-2681) \\cdot (41-39,29)\\\\\n", " + (3207-2681) \\cdot (40-39,29)\\\\\n", " + (2100-2681) \\cdot (38-39,29)\n", " \\end{array}}\n", " {\\sqrt{\n", " \\begin{pmatrix}\n", " (2856-2681)^2\\\\\n", " + (2350-2681)^2\\\\\n", " + (2236-2681)^2\\\\\n", " + (2910-2681)^2\\\\\n", " + (3108-2681)^2\\\\\n", " + (3207-2681)^2\\\\\n", " + (2100-2681)^2\n", " \\end{pmatrix}\t\n", " \\cdot\n", " \\begin{pmatrix}\n", " (40-39,29)^2\\\\\n", " + (39-39,29)^2\\\\\n", " + (38-39,29)^2\\\\\n", " + (39-39,29)^2\\\\\n", " + (41-39,29)^2\\\\\n", " + (40-39,29)^2\\\\\n", " + (38-39,29)^2\n", " \\end{pmatrix}}}\n", " \\approx 0,87\n", "$$\n", "\n", "Oder alternativ, wenn die Kovarianz sowie die beiden Standardabeichungen zuvor schon separat berechnet wurden:\n", "\n", "$$r = \\frac{430,17}{444,83 \\cdot 1,11} \\approx 0,87$$\n", "\n", "Der errechnet Korrelationskoeffizient liegt in unserem Fall recht nah an dem Maximalwert +1. Es liegt eine starke positive Korrelation vor. Wir beobachten in unseren Daten bei Personen mit großer Schuhgröße tendenziell höhere Einkommen bzw. kleineren Füßen (Schuhgröße) niedrigere Einkommen. Nun ist jedem klar, dass Füße nicht wachsen, wenn das Gehalt steigt oder bei der Einstellung nach der Schuhgröße gefragt wird, um das Gehalt festzulegen. Dies zeigt sehr eindrücklich, dass eine Korrelation nicht mit Kausalität einhergehen muss. Grund können in solchen Fällen bspw. nicht betrachtete Merkmale sein, die auf beide Variablen wirken. Seien Sie daher entsprechend vorsichtig bei der Interpretation der Werte. In unserem Beispiel stellt z.B. das (nicht erhobene) Geschlecht eine solches Merkmal dar. \n", "\n", "In nachfolgender Abbildung sehen Sie noch einmal ein paar graphische Darstellungen von Zusammenhängen. Beachten Sie bitte, dass ein Korrelationskoeffizient von null nicht zwingend bedeuten muss, dass kein Zusammenhang besteht. Da die Kovarianz als Basis des Korrelationskoeffizienten dient, können auch hier nur Aussagen über lineare Zusammenhänge getroffen werden. \n", "\n", "![Streudiagramme_correlation.png](attachment:Streudiagramme_correlation.png)\n", "\n", "Bei einem Korrelationskoeffizienten mit einem Betragswert von 1 sprechen wir von einem perfekten linearen Zusammenhang. Eine Veränderung der einen Variable lässt eine proportionale Veränderung bei der anderen Variable beobachten. Welche Werte als starke oder schwache Zusammenhänge verstanden werden hängt grundsätzlich auch von der Domäne ab und ist immer im Forschungskontext zu bewerten. Wir werden noch sehen, dass der Korrelationskoeffizient auch als Maß für die Effektgröße verwendet wird. In diesem Kontext wird ein Wert $\\geq \\pm 0,5$ als ein großer Effekt, Werte $\\geq\\pm 0,3$ als ein Effekt mittlerer Stärke, und Werte $\\geq\\pm 0,1$ als kleine Effekte betrachtet (vgl. z.B. Field 2012, S. 209).\n", "\n", "In `R` erfolgt die Berechnung des Korrelationskoeffizienten mit der Funktion `cor`, die auch in der Lage ist, andere Korrelationsmaße zu berechnen. Über den Parameter `use` lassen sich auch hier Einstellungen für den Umgang mit fehlenden Werten treffen. Welche Werte an den Parameter übergeben werden können, lässt sich der Hilfe entnehmen." ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "id": "alien-tonight", "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "cor(daten_minimalbeispiel)" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "instructional-sculpture", "metadata": {}, "source": [ "Graphisch darstellen lassen sich die Zusammenhänge zwischen intervallskalierten Variablen in Streudiagrammen. Die Funktion zur Erzeugung dieser Darstellungen kennen Sie bereits aus dem Jupyter Notebook zum Thema Datenaufbereitung: `plot`. Auch die Bibliothek `ggplot2` stellt entsprechende Möglichkeiten bereit." ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "id": "reserved-patient", "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "options(repr.plot.width=4, repr.plot.height=3)\n", "#Streudiagramm mit der Funktion aus der Basisbibliothek erstellen\n", "plot(daten_minimalbeispiel, pch=16) #pch steht für point character und ermöglich die Spezifikation des Zeichens zur\n", " #Darstellung der Punktwerte (pch = 16: ausgefüllter schwarzer Kreis)\n", "\n", "#Streudiagramm mit der Bibliothek ggplot2 erstellen\n", "ggplot(daten_minimalbeispiel, aes(Gehalt, Schuhgroesse)) + geom_point()" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "moral-adolescent", "metadata": {}, "source": [ "**Aufgabe**\n", "\n", "Ermitteln Sie, für welche mindestens intervallskalierten Merkmale ein linearer Zusammenhang zu beobachten ist. Ziehen Sie auch geeignete graphische Darstellungen hinzu, um die Ergebnisse zu interpretieren." ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "id": "increased-karaoke", "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "library(ggplot2)\n", "ggplot(sample_data, aes(Gewicht, Groesse)) + geom_point()" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "caring-garden", "metadata": {}, "source": [ "### Rangkorrelation nach Spearman\n", "\n", "Auch für Zusammenhänge ordinalskalierter Variablen existieren Korrelationsmaße. Wir betrachten im Folgenden zunächst die Rangkorrelation nach Spearman ($\\rho$). Diese ist nach dem Vorbild des Korrelationskoeffizienten von Pearson aufgebaut, es wird jedoch mit den Rangpositionen der beobachteten Werte gerechnet. Die Rangkorrelation nach Spearman kann auch für intervallskalierte Merkmale angewendet werden (wenn z.B. kein linearer Zusammenhang gegeben ist), zuvor müssen den beobachteten Werten jedoch ihre Rangpositionen zugeordnet werden. Der Wertebereich dieser statistischen Kennzahl ist ebenfalls identisch mit dem des Korrelationskoeffizienten nach Pearson.\n", "\n", "$$r_S = \\rho = \\frac{ \\sum_{i=1}^{n} (R_{x_i} - \\bar{R}_{x})(R_{y_i} - \\bar{R}_{y} )}{ \\sqrt{\\sum_{i=1}^{n}(R_{x_i} - \\bar{R}_{x})^2 \\sum_{i=1}^{n} (R_{y_i} - \\bar{R}_{y})^2 } }$$\n", "\n", "Betrachten wir noch einmal unser Minimalbeispiel und ordnen den beobachteten Werten Rangpositionen zu. Dabei ist es grundsätzlich egal, ob die Werte dafür auf- oder absteigend sortiert werden. Sie sollten sich der Sortierung aber bei der Interpretation bewusst sein, da sie Einfluss auf das Vorzeichen haben kann. Wie Sie sehen können, treten einige Beobachtungswerte mehrfach auf, diese so genannten verbundenen Ränge teilen sich jeweils eine Rangposition. Dabei wird allen identischen Werten die mittlere der Rangpositionen zugewiesen. In unserem Beispiel weisen `M1` und `M6` bspw. dieselbe Schuhgröße auf. Diese würden die Rangpositionen 5 und 6 bekleiden. Die gemittelte Rangposition hat den Wert 5,5 und dieser wird beiden Werten zugeordnet.\n", "\n", "|ID|Gehalt|\tRang(Gehalt)||\tSchuhgröße|\tRang(Schuhgröße)|\n", "|--|----|---||----|----|\n", "|M1|2856|\t4||\t40|\t5,5|\n", "|M2|2350|\t3||\t39|\t3,5|\n", "|M3|2236|\t2||\t38|\t1,5|\n", "|M4|2910|\t5||\t39|\t3,5|\n", "|M5|3108|\t6||\t41|\t7|\n", "|M6|3207|\t7||\t40|\t5,5|\n", "|M7|2100|\t1||\t38|\t1,5|\n", "\n", "Für die Berechnung benötigen wir nun noch den arithmetischen Mittelwert der Rangpositionen. Da aufgrund der verbundenen Ränge die Summe aller Ränge immer gleichbleibend ist, unabhängig von der Anzahl der gleichen Werte, lässt sich die Berechnung mit folgender Formel vereinfachen: \n", "\n", "$$\\bar{R}_{x} = \\frac{n+1}{2} \\Rightarrow \\frac{7+1}{2} = 4$$\n", "\n", "Für unser Beispiel errechnet sich die Rangkorrelation nach Spearman wie folgt:\n", "\n", "$$\n", "r = \\frac{ \n", " \\begin{array}\n", " + (4-4) \\cdot (5,5-4)\\\\\n", " + (3-4) \\cdot (3,5-4)\\\\\n", " + (2-4) \\cdot (1,5-4)\\\\\n", " + (5-4) \\cdot (3,5-4)\\\\\n", " + (6-4) \\cdot (7-4)\\\\\n", " + (7-4) \\cdot (5,5-4)\\\\\n", " + (1-4) \\cdot (1,5-4)\n", " \\end{array}}\n", " {\\sqrt{\n", " \\begin{pmatrix}\n", " (4-4)^2\\\\\n", " + (3-4)^2\\\\\n", " + (2-4)^2\\\\\n", " + (5-4)^2\\\\\n", " + (6-4)^2\\\\\n", " + (7-4)^2\\\\\n", " + (1-4)^2\n", " \\end{pmatrix}\t\n", " \\cdot\n", " \\begin{pmatrix}\n", " (5,5-4)^2\\\\\n", " + (3,5-4)^2\\\\\n", " + (1,5-4)^2\\\\\n", " + (3,5-4)^2\\\\\n", " + (7-4)^2\\\\\n", " + (5,5-4)^2\\\\\n", " + (1,5-4)^2\n", " \\end{pmatrix}}}\n", " \\approx 0,84\n", "$$\n", "\n", "Auch die Rangkorrelation nach Spearman zeigt hier einen starken positiven Zusammenhang. Steigende Rangpositionen im Gehalt lassen steigende Rangpositionen bei der Schuhgröße beobachten. Beachten Sie bitte, dass das Vorzeichen hier von der gewählten Rangvergabe abhängig sein kann. Wären für das Gehalt aufsteigend und die Schuhgröße absteigend Rangpositionen zugeordnet worden, würde der resultierende Wert ein negatives Vorzeichen aufweisen. Da für beide Messreihen die Rangpositionen in aufsteigender Weise zugeordnet wurden, lässt sich Spearmans $\\rho$ hier intuitiv interpretieren.\n", "\n", "Zur Berechnung in `R` kann die Ihnen bereits bekannte Funktion `cor` verwendet werden. Über den Parameter `method` wird angegeben, welches Korrelationsmaß verwendet werden soll." ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "id": "imported-sitting", "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "cor(daten_minimalbeispiel, method = \"spearman\")" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "beneficial-sector", "metadata": {}, "source": [ "### Rangkorrelation nach Kendall\n", "Ein weiteres Korrelationsmaß für ordinalskalierte Variablen stellt Kendalls $\\tau$ dar. Dieses ist besonders bei kleinen Stichprobenumfängen oder Merkmalen mit vielen verbundenen Rängen Spearmans $\\rho$ vorzuziehen. Die Berechnungsgrundlage bildet ein Vergleich aller Wertepaare, die nach der Rangfolge einer Variablen sortiert werden. Anschließend werden die sogenannten konkordanten und diskonkordanten Wertepaare ermittelt, dafür werden alle möglichen Paarvergleiche angestellt. Konkordante Paare bilden im Vergleich für beide Variablen dieselbe größer/kleiner-Relation. In unserem Beispiel finden wir dies z.B. für den Vergleich von `M1` und `M2`: Sowohl die Rangposition für das Gehalt als auch für die Schuhgröße ist jeweils bei `M1` größer als bei `M2`. Bei diskonkordanten Paaren liegt für beide Merkmale eine entgegengesetzte größer/kleiner-Relation vor. Dies finden wir bspw. bei `M5` und `M6`. Nachdem alle möglichen Paarvergleiche angestellt wurden, lässt sich Kendalls $\\tau$ wie folgt berechnen:\n", "\n", "$$\\tau = \\frac{\\text{konkordante Fälle }(K) - \\text{diskonkordante Fälle }(D)}{\\text{Gesamtanzahl der Paarkombinationen}}$$\n", "\n", "Treten verbundene Ränge (VR) auf wird eine Variation der Formel verwendet:\n", "\n", "$$\\tau = \\frac{\\text{konkordante Fälle }(K) - \\text{diskonkordante Fälle }(D)}{\\sqrt{(K+D+VR_x)\\dot(K+D+VR_y)}}$$\n", "\n", "Da das Anstellen der vielen manuellen Paarvergleiche recht aufwändig ist, stellen wir diese hier nicht an, sondern wenden uns direkt der Berechnung in `R` zu. Der interessierte Leser sei z.B. auf Völk und Korb (2018, S. 193ff) verwiesen. Auch dieses Korrelationsmaß wird von der Funktion `cor` berechnet. Dem Parameter `method` wird dafür der Wert `kendall` übergeben." ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "id": "purple-yahoo", "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "cor(daten_minimalbeispiel, method = \"kendall\")" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "based-moral", "metadata": {}, "source": [ "Kendalls $\\tau$ bewegt sich wie die bisher bekannten Korrelationsmaße im Wertebereich von $[-1,+1]$ und lässt sich analog zu den bereits bekannten Korrelationsmaßen interpretieren. Der Wert ist hier deutlich kleiner als Spearmans $\\rho$, stellt aber ebenfalls eine starke positive Korrelation dar. Im Allgemeinen wird Kendalls $\\tau$ aber als robuster angesehen (vgl. z.B. Field (2012, S. 226)). " ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "extraordinary-playback", "metadata": {}, "source": [ "### Weitere Korrelationsmaße\n", "Auch für nominalskalierte, insbesondere dichotome Merkmale, gibt es bivariate Zusammenhangsmaße, wie nachfolgende Übersicht in Anlehnung an Bortz und Schuster (2010, S. 171) zeigt. Diese Maße werden wir in diesem Jupyter Notebook nicht im Einzelnen behandeln, Sie finden Ausführungen dazu aber z.B. bei Field (2012) in Kapitel 6.5 oder bei Schuster und Bortz (2010) in Kapitel 10.3.\n", "\n", "\n", "|

Merkmal y||Merkmal x

Intervallskala|

Ordinalskala|

dichotomes Merkmal|\n", "|---------||:-------------|:-----------|:-----------------|\n", "Intervallskala||Produkt-Moment-Korrelation|Rangkorrelation|Punktbiseriale Korrelation|\n", "|Ordinalskala||Rangkorrelation|-|-|\n", "|dichotomes Merkmal||-|Biseriale Rangkorrelation|$\\phi$-Koeffizient" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "right-savage", "metadata": {}, "source": [ "# Quellen und weiterführende Literatur\n", "- Bortz, Jürgen; Schuster, Christof (2010): Statistik für Human- und Sozialwissenschaftler. Mit … 163 Tabellen. 7., vollst. überarb. und erw. Aufl. Berlin: Springer (Springer-Lehrbuch).\n", "- Field, Andy; Miles, Jeremy; Field, Zoë (2012): Discovering statistics using R. London: SAGE.\n", "- Freedman, David; Diaconis, Persi (1981): On the histogram as a density estimator:L 2 theory. In: Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw Gebiete 57 (4), S. 453–476. DOI: 10.1007/BF01025868.\n", "- Häder, Michael (2015): Empirische Sozialforschung. Wiesbaden: Springer Fachmedien Wiesbaden.\n", "- Manderscheid, Katharina (2017): Sozialwissenschaftliche Datenanalyse mit R. Eine Einführung. 2. Auflage. Wiesbaden: Springer VS (Lehrbuch).\n", "- Völkl, Kerstin; Korb, Christoph (2018): Deskriptive Statistik. Eine Einführung für \n", "Politikwissenschaftlerinnen und Politikwissenschaftler. Wiesbaden: Springer VS \n", "(Elemente der Politik). " ] }, { "attachments": { "image-2.png": { "image/png": "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Wenn Sie der Standardanleitung gefolgt sind, heißt dies wahrscheinlich `env-r` oder `env_r`. Anschließend geben Sie den Befehl `conda install r-` also für `gmodels` `conda install r-gmodels` ein. Sie werden nun noch einmal gefragt, ob Sie mit der Installation fortfahren wollen. Dies bestätigen Sie bitte. Nach erfolgreicher Installation können Sie die Bibliothek verwenden." ] } ], "metadata": { "kernelspec": { "display_name": "R", "language": "R", "name": "ir" }, "language_info": { "codemirror_mode": "r", "file_extension": ".r", "mimetype": "text/x-r-source", "name": "R", "pygments_lexer": "r", "version": "3.6.1" }, "toc": { "base_numbering": 1, "nav_menu": {}, "number_sections": true, "sideBar": true, "skip_h1_title": true, "title_cell": "Table of Contents", "title_sidebar": "Contents", "toc_cell": true, "toc_position": {}, "toc_section_display": true, "toc_window_display": false } }, "nbformat": 4, "nbformat_minor": 5 }